皮埃爾·德·費馬
費馬原理(英語:Fermat's principle)最早由法國科學家皮埃爾·德·費馬在1662年提出:光傳播的路徑是光程取極值的路徑。這個極值可能是極大值、極小值或函數的拐點。 [1]最初提出時,又名「最短時間原理」:光線傳播的路徑是需時最少的路徑[2]。
費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」:光沿着所需時間為平穩的路徑傳播。平穩是數學上的微分概念,可以理解為一階導數為零,它可以是極大值、極小值甚至是拐點。
費馬原理是幾何光學的基本定理。用微分或變分法可以從費馬原理導出以下三個幾何光學定律:
- 光線在真空中的直線傳播。
- 光的反射定律 - 光線在界面上的反射, 入射角必須等於出射角。
- 光的折射定律(斯涅耳定律)。
最短光時線可以有多條,例如光線從橢圓面焦點A經過反射到另一焦點B,可以有無數條路徑,所有這些路徑的光線傳播時間都相等。
光線從點Q傳播至點O時,會被半圓形或混合形鏡子
反射,最終抵達點P。
費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況,光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值,而是最大值,或甚至是拐值。[1]
- 平面鏡:任意兩點的反射路徑光程是最小值。
- 半橢圓形鏡子:其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的,光程都一樣,是最大值,也是最小值。
- 半圓形鏡子:其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值。
- 如最右圖所示,對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子,同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。
光的反射[編輯]
平面反射[編輯]
光在平面上的反射
平面反射的光程
光從P點出發射向x點,反射到Q點。
P 點到 x點的距離
Q 點 到 x 點的距離
從點P到點Q的光程 D 為
。
根據費馬原理,光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。
取光程
對
的導數,令其為零:
![{\displaystyle D'={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc17451d4031dc5996e30fa451d1ce13b5bd12c)
。
但其中
![{\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da146f7778b61f0c529025cd597407b49a53f479)
。
即
![{\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14d9dc2d9147fe2c871379dc2596bbc23869b92)
![{\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07daf92882fa7d211c6f5a33759d4447e7db2eea)
這就是反射定律
半球面反射[編輯]
光線從點Q傳播至點O時,會被半圓形鏡子反射,最終抵達點P。
|
R=5 半圓鏡的反射點在圓的頂點,光程最長=2.82R
|
球面的半徑=R
光線從直徑一端Q射向球面,反射到直徑另一端P
光程
因
;
所以
根據費馬原理, D'=0
解之, 得
,代入D得到:
光程
,乃是一個最大值=2.8R;(最小值光程是從直徑一端到Q另一端P,光程=2R)
光的折射[編輯]
光線從介質1的點Q,在點O傳播進入介質2,發生折射,最後抵達介質2的點P。
如右圖所示,設定介質1、介質2的折射率分別為
、
,光線從介質1在點O傳播進入介質2,則斯涅耳定律以方程式表達為
;
其中,
為入射角,
為折射角。
從費馬原理,可以推導出斯涅耳定律。光線在介質1與介質2的速度
和
分別為
、
;
其中,
是真空光速。
由於介質會減緩光線的速度,折射率
和
都大於
。
從點Q到點P的傳播時間
為
。
根據費馬原理,光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑,取傳播時間
對
的導數,設定其為零:
。
其中
因此得到傳播速度與折射角的關係式:
。
將傳播速度與折射率的關係式代入,就會得到斯涅耳定律:
。
運動學[編輯]
白努利家族的約翰·白努利在解決最速降線問題時曾利用到費馬原理。[3]他將小球運動類比作光線的運動,從而得出最速降線為擺線。
參考文獻[編輯]
- ^ 1.0 1.1 Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 106–111, 141, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英語)
- ^ Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc.: pp. 255ff, 274, 345–346, 1988, ISBN 0-486-65632-2
- ^ http://www.guokr.com/article/22018/ (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) 復活節閒扯:一場激動人心的數學公開挑戰賽,果殼網。